Question

如圖，⊙M與x軸相切于原點(diǎn)，平行于y軸的直線交圓于P、Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)在Q點(diǎn)的下方．若P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），求圓心M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：過M作MN垂直于PQ，交PQ于N，根據(jù)垂徑定理得到N為PQ中點(diǎn)，連接PM，由點(diǎn)P分別作x軸與y軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，根據(jù)P的坐標(biāo)得到PA和PB的長度，設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（0，m），則圓的半徑MO=m，根據(jù)NA-PA表示出NP，而MN與PB相等，故在直角三角形MNP中，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，從而確定出圓心M的坐標(biāo)．

解答：解：過M作MN⊥PQ，交PQ于N，連接PM，
∴N為PQ的中點(diǎn)，
又P的坐標(biāo)為（2，1），過P作PA⊥x軸，PB⊥y軸，
所以MN=PB=2，PA=1，
設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（0，m），由圓M與x軸相切于原點(diǎn)，
則圓的半徑MP=m（m＞0），NP=NA-PA=OM-PA=m-1，
在直角三角形MNP中，根據(jù)勾股定理得：
m²=（m-1）²+2²，即2m=5，解得m=

5

2

，
則圓心M的坐標(biāo)為（0，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．在解決圓有關(guān)問題時(shí)，遇到圓中的弦，常常過圓心作這條弦的垂線，利用垂徑定理得中點(diǎn)，由垂直構(gòu)造以圓心、垂足及弦的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形解決有關(guān)問題．