Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交AB于點G，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠ACD的角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，猜想并證明當點O運動到何處時四邊形AECF為正方形？此時，如果AE=，AB=4，求sin∠BAE的值．

Answer 1

（1）證明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，F(xiàn)C平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，F(xiàn)O=OC，
∴EO=FO；

（2）解：當點O運動到AC中點時，四邊形AECF為正方形．理由如下：
由（1）知，OE=OC=OF，
當OC=OA，即點O為AC的中點時，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四邊形AECF是平行四邊形，AC=EF，
∴這時四邊形AECF是矩形；
又∵∠ACB=90°，MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴矩形AECF是正方形．
∴AE=CE=，∠AEC=90°，
∴AC=2，OA=OE=1．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴sin∠B===，
∴∠B=30°，
∴∠AGO=∠B=30°，OG=OA=．
過E作EH⊥AB于H，設EH=x，則GE=2x，
∵GE+OE=OG，
∴2x+1=，
∴x=．
在Rt△AHE中，sin∠HAE===，
∴sin∠BAE=．
分析：（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△EOC與△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；
（2）由（1）知，OE=OC=OF，當OC=OA，即點O為AC的中點時，可得OE=OC=OF=OA，證得四邊形AECF是矩形；再由∠ACB=90°，MN∥BC，得出AC⊥EF，從而證明矩形AECF是正方形；根據正方形的性質及勾股定理求出AC=2，OA=OE=1，在Rt△ABC中，由正弦函數(shù)的定義得到∠B=30°，則∠AGO=30°，OG=．過E作EH⊥AB于H，設EH=x，由GE+OE=OG，列出方程2x+1=，解方程求出x=，然后在Rt△AHE中，利用正弦函數(shù)的定義求出sin∠HAE的值，即可得到sin∠BAE的值．
點評：此題考查了平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，正方形、矩形的判定與性質，解直角三角形．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．