Question

設(shè)k為正整數(shù)，證明：
（1）如果k是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，那么25k+6也是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積；
（2）如果25k+6是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，那么k也是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)出連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)，進(jìn)而求出兩者的積即可；
（2）根據(jù)（1）式證明得出原式=（5m+2）（5m+3），進(jìn)而得出K=m（m+1）．

解答：證明：（1）設(shè)兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)可表示為x，x+1，那么k=x（x+1），
   25k+6，
=25x（x+1）+6，
=25x²+25x+6，
=（5x+2）（5x+3），
∴也是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的乘積，
∴如果k是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，那么25k+6也是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積；

（2）設(shè)25k+6=m（m+1），m為正整數(shù)，
則100k+25=4m（m+1）+1=4m²+4m+1=（2m+1）²=5²×（4k+1），
∴2m+1是5的倍數(shù)，且2m+1/5是奇數(shù)，
∴設(shè)

2m+1

5

=2x+1（x為正整數(shù)），
則4k+1=（

2m+1

5

）²=（2x+1）²，
∴4k+1=4x²+4x+1，
∴4k=4x²+4x，
∴k=x（x+1），
∴k是連續(xù)兩個(gè)正整數(shù)的積．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，熟練地應(yīng)用因式分解是解決問題的關(guān)鍵．