Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（8，1），B（0，-3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（a＞0）的圖象經(jīng)過點A，動直線x=t，（0＜t＜8）與反比例函數(shù)的圖象交于點M，與直線AB交于點N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）把點A坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直線AB的解析式，利用t表示出M和N的縱坐標(biāo)，則△MNB的面積即可利用t表示，即△BMN的面積是t的二次函數(shù)，即可得出面積的最大值．

解答 解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
∴k=8；
（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-3；
設(shè)M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），
則MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3，
∴△BMN的面積S=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴△BMN的面積S是t的二次函數(shù)，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴S有最大值，
當(dāng)t=3時，△BMN的面積的最大值為$\frac{25}{4}$．

點評 本題是反比例函數(shù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確利用t表示出三角形MNB的面積是關(guān)鍵．