Question

如圖1所示，一張半圓形紙片，直徑AB=10，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．沿半徑CO把這張紙片剪出△AC₁O₁和△BC₂O₂兩個(gè)三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁O₁沿直線O₂B（AB）方向平移（點(diǎn)A，O₁，O₂，B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)O₁與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移過程中，C₁O₁與BC₂交于點(diǎn)E，AC₁與C₂O₂，BC₂分別交于點(diǎn)F、P．
（1）當(dāng)△AC₁O₁平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的O₁E與O₂F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，設(shè)平移距離O₁O₂為x，△AC₁O₁與△BC₂O₂重疊部分面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值，使重疊部分的面積等于原△ABC面積的．若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得O₁B=O₂A，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；
（2）根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上解一元二次方程即可．
解答：解：（1）O₁E=O₂F．理由如下：
∵O₁E∥O₂C₂，
∴，
同理，
根據(jù)平移的性質(zhì)，知O₁B=O₂A，
∴O₁E=O₂F．

（2）∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠APB=90°．
在直角三角形APB中，AB=10-x，
則BP=AB=5-x，
則AP=5-x．
則直角三角形APB的面積是．
∵O₁E∥O₂C₂，
∴=，
則S_△O1EB=，
則y=-2×=-+x（0≤x≤5）．

（3）根據(jù)題意，得-+x=×，
解，得x=或5．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、平移的性質(zhì)以及三角形的面積公式，難度較大．
在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，要哪個(gè)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．