Question

如圖，已知⊙O的直徑AB=16，點C是⊙O的一點，且

AC

=

BC

．
（1）求AC的長；
（2）若AD是⊙O的切線，點D與C在直徑AB的兩側．
①求△CDO的面積；
②求由

BC

、CD、DB圍成的圖形面積比由

AC

、CD、DA圍成的圖形面積大多少？

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由

AC

=

BC

得AC=BC，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質得AC=

2

2

AB=8

2

；
（2）①根據切線的性質得AD⊥AB，再根據等腰直角三角形的性質得OC⊥CD，所以AD∥OC，則根據三角形面積公式得S_△CDO=S_△AOC=

1

2

•OC•AO=32；
②設由

BC

、CD、DB圍成的圖形面積為S₁，由

AC

、CD、DA圍成的圖形面積S₂，則S₁=S_扇形BOC+S_△COD+S_△BOD，S₂=S_扇形AOC+S_△AOD-S_△COD，
由于S_扇形AOC=S_扇形BOC，S_△BOD=S_△AOD，所以S₁-S₂=2S_△COD=64．

解答：解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=

2

2

×16=8

2

；
（2）①∵AD是⊙O的切線，
∴AD⊥AB，
∵OC為等腰直角三角形ABC斜邊上的中線，
∴OC⊥CD，
∴AD∥OC，
∴S_△CDO=S_△AOC=

1

2

•OC•AO=

1

2

×8×8=32；
②設由

BC

、CD、DB圍成的圖形面積為S₁，由

AC

、CD、DA圍成的圖形面積S₂，
S₁=S_扇形BOC+S_△COD+S_△BOD，S₂=S_扇形AOC+S_△AOD-S_△COD，
∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴S_扇形AOC=S_扇形BOC，
∵OA=OB，
∴S_△BOD=S_△AOD，
∴S₁-S₂=2S_△COD=2×32=64，
即由

BC

、CD、DB圍成的圖形面積比由

AC

、CD、DA圍成的圖形面積大64．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理、扇形的面積公式和三角形的面積公式．