Question

如圖，已知AD∥BC，CD⊥AD于D點(diǎn)，交BC于C，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)．
（1）若AE=BE，∠AEB=90°，求證：AD+BC=CD；
（2）若AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC，求證：AD+BC=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得∠D=∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠EAD=∠BEC，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AD=EC，DE=BC，根據(jù)線段的和差，等式的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=EF=EC，根據(jù)HL，可得Rt△ADE≌Rt△AFE，△EBF≌Rt△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AD與AF的關(guān)系，BF與BC的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，CD⊥AD于D點(diǎn)，
∴∠D=∠C=90°．
∵∠EAD+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠EAD=∠BEC．
在△AED和△EBC中，

∠EAD=∠BEC ∠D=∠C AE=BE

，
∴△AED≌△EBC（AAS），
∴AD=EC，DE=BC．
∵DE+EC=CD，
∴AD+BC=CD；
（2）證明：如圖：作EF⊥AB于F，，
∵AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC，
∴∠EAD=∠EAF，∠EBF=∠EBC．
又∵EF⊥AB于F，
∴DE=EF=EC．
在Rt△ADE和Rt△AFE中，

AE=AE ED=EF

，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴AD=AF．
在Rt△EBF和Rt△EBC中，

EB=EB EF=EC

，
∴Rt△EBF≌Rt△EBC（HL），
∴BF=BC．
∵AF+FB=AB，
∴AD+BC=AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．