Question

將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A₁B₁C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A₁B₁與BC的交點(diǎn)，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B₁C上取一點(diǎn)E，連接BE、P₁E，設(shè)BC=1，當(dāng)BE⊥P₁B時(shí)，求△P₁BE面積的最大值．

Answer 1

（1）見解析
（2）CQ=
（3）當(dāng)x=1時(shí)，S_{△P1BE（max）}=

（1）先判斷∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可證明△B₁CQ≌△BCP₁，從而得出結(jié)論．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，繼而可得出CQ的長(zhǎng)度．
（3）證明△AP₁C∽△BEC，則有AP₁：BE=AC：BC=：1，設(shè)AP₁=x，則BE=x，得出S_△P1BE關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．
（1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，
，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；
（2）作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，
∴P₁D=AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP₁=P₁D=，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=；
（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=BC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=：1，
設(shè)AP₁=x，則BE=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=×x（2﹣x）=﹣x²+x
=﹣（x﹣1）²+，
故當(dāng)x=1時(shí)，S_{△P1BE（max）}=．