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求證:對任何矩形A,總存在一個矩形B,使得矩形B與矩形A的周長和面積比等于同一個常數k(k≥1).
考點:根的判別式
專題:證明題
分析:設已知矩形A的長與寬分別為a,b,所求矩形B的長與寬為x,y,則矩形A的周長是2(a+b),面積為ab,矩形B的周長為2(x+y),面積為xy,得出方程組,轉化成方程后求出△的值,即可得出答案.
解答:解:設已知矩形A的長與寬分別為a,b,所求矩形B的長與寬為x,y,
則矩形A的周長是2(a+b),面積為ab,
矩形B的周長為2(x+y),面積為xy,
x+y=k(a+b)
xy=kab

∴x,y是方程t2-k(a+b)t+kab=0的兩實根.
當△=[k(a+b)]2-4kab≥0,即k≥
4ab
(a+b)2
時,方程有解.
所以,對于長與寬分別為a,b的矩形,當k≥
4ab
(a+b)2
時,存在周長與面積都是已知矩形的k倍的矩形.
∵(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,a2+b2+2ab≥4ab,
即(a+b)2≥4ab,
4ab
(a+b)2
≤1,
4ab
(a+b)2
的最大值為1.
∴當k≥1時,所有的矩形都有周長與面積同時擴大m倍的矩形,
即對任何矩形A,總存在一個矩形B,使得矩形B與矩形A的周長和面積比等于同一個常數k(k≥1).
點評:本題考查了一元二次方程根的判別式的應用,注意:一元二次方程ax2+bx+c=0,(a、b、c為常數,a≠0),當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數根,當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數根,當b2-4ac<0時,方程無實數根,題目比較好,難度偏大.
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3
4
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