Question

求證：對(duì)任何矩形A，總存在一個(gè)矩形B，使得矩形B與矩形A的周長和面積比等于同一個(gè)常數(shù)k（k≥1）．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：證明題

分析：設(shè)已知矩形A的長與寬分別為a，b，所求矩形B的長與寬為x，y，則矩形A的周長是2（a+b），面積為ab，矩形B的周長為2（x+y），面積為xy，得出方程組，轉(zhuǎn)化成方程后求出△的值，即可得出答案．

解答：解：設(shè)已知矩形A的長與寬分別為a，b，所求矩形B的長與寬為x，y，
則矩形A的周長是2（a+b），面積為ab，
矩形B的周長為2（x+y），面積為xy，
則

x+y=k(a+b) xy=kab

∴x，y是方程t²-k（a+b）t+kab=0的兩實(shí)根．
當(dāng)△=[k（a+b）]²-4kab≥0，即k≥

4ab

(a+b)2

時(shí)，方程有解．
所以，對(duì)于長與寬分別為a，b的矩形，當(dāng)k≥

4ab

(a+b)2

時(shí)，存在周長與面積都是已知矩形的k倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，

4ab

(a+b)2

≤1，
∴

4ab

(a+b)2

的最大值為1．
∴當(dāng)k≥1時(shí)，所有的矩形都有周長與面積同時(shí)擴(kuò)大m倍的矩形，
即對(duì)任何矩形A，總存在一個(gè)矩形B，使得矩形B與矩形A的周長和面積比等于同一個(gè)常數(shù)k（k≥1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0，（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，題目比較好，難度偏大．