Question

某高科技發(fā)展公司投資500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，現(xiàn)在投入資金1500萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)生產(chǎn)線進(jìn)行批量生產(chǎn)，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，一年的銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量就減少1萬(wàn)件．公司同時(shí)規(guī)定：該產(chǎn)品售價(jià)不得低于100元/件且不得超過(guò)180元/件．設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年盈利（年獲利=處銷售額-生產(chǎn)成本-投資）為w（萬(wàn)元）．
（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）請(qǐng)說(shuō)明第一年公司是盈利還是虧損？求出當(dāng)盈利最大或虧損最小時(shí)的產(chǎn)品售價(jià)；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或虧損最小時(shí)，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價(jià)，能否使兩年共盈利達(dá)1340萬(wàn)元，若能，求出第二年的產(chǎn)品售價(jià)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，一年的銷售量為20萬(wàn)件，而銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量就減少1萬(wàn)件，由此確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由于首先投資500萬(wàn)元成功研制，又投入資金1500萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)生產(chǎn)線，而生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元，然后利用（1）的結(jié)論即可列出公司第一年的盈利w萬(wàn)元與x函數(shù)關(guān)系式，接著利用函數(shù)關(guān)系式即可確定第一年公司是盈利還是虧損；
（3）根據(jù)（1）（2）可以列出方程(30-

1

10

x)(x-40)-310=1340，解方程結(jié)合已知條件即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）y=20-

x-100

10

•1=30-

1

10

x（100≤x≤180）；

（2）公司第一年的盈利為w萬(wàn)元
w=y(x-40)-1500-500=(30-

1

10

x)(x-40)-2000
=-

1

10

(x-170)2-310≤-310，
∴第一年公司虧損了，當(dāng)商品售價(jià)定為170元/件時(shí)，虧損最小，最小虧損為310萬(wàn)元；

（3）兩年共盈利1340萬(wàn)元，則
(30-

1

10

x)(x-40)-310=1340
解之的，x₁=150，x₂=190
又∵100≤x≤180，
∴x=150，
∴每件商品售價(jià)定為150元時(shí)，公司兩年可盈利1340萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題時(shí)首先正確理解題意，然后利用已知條件列出方程或二次函數(shù)，然后解方程或利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．