Question

18．如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F．
（1）求證：DF•CD=AF•CE．
（2）若AF=4DF，CD=12，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再結(jié)合已知條件即可求出CE的長．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠DAF+∠FDA=90°，
∴∠FAD=∠CDE，
又∵∠C=∠AFD=90°，
∴△ADF∽△DCE；
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{DC}$，
即DF•CD=AF•CE；
（2）∵△ADF∽△DCE；
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{DC}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{DC}$，
又∵AF=4DF，CD=12，
∴$\frac{DF}{4DF}=\frac{CE}{12}$，
∴CE=3．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)以及垂直的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)運(yùn)用，能根據(jù)題意得出△ADF∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．