Question

14．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）當∠E=∠F時，則∠ADC=90°；
（2）當∠A=55°，∠E=30°時，求∠F的度數(shù)；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大�。�

Answer 1

分析 （1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）由∠A=55°，∠E=30°，首先可求得∠ABC的度數(shù)，繼而利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠ADC的度數(shù)，則可求得答案；
（3）由三角形的內(nèi)角和定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，
∴∠ADC=∠ABC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°．
故答案為：90°；

（2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°，
∴∠ADF=180°-∠ABE=85°，
∴在△ADF中，∠F=180°-∠ADF-∠A=40°；

（3）∵∠ADC=180°-∠A-∠F，∠ABC=180°-∠A-∠E，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°，
∴∠A=90°-$\frac{∠E+∠F}{2}$=90°-$\frac{α+β}{2}$．

點評 此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意圓內(nèi)接四邊形的對角互補．