Question

如圖1，直線y=-kx+6k（k＞0）與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，且△AOB的面積是24．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線OA-AB運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作與x軸平行的直線l，與線段AB相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn)P、E均停止運(yùn)動(dòng)．連接PE、PF，設(shè)△PEF的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)P作x軸的垂線，與直線l相交于點(diǎn)M，連接AM，當(dāng)tan∠MAB=時(shí)，求t值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x=0時(shí)，y=6k，y=0時(shí)，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S_△AOB=24，求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0＜t≤3，以及當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)求出即可；
（3）利用當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)，以及當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分別得出t的值即可．
解答：解：（1）令x=0時(shí)，y=6k（k＞0）；
令y=0時(shí)，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S_△AOB=24，
∴，
 解得，
∴AB的解析式為；

（2）根據(jù)題意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0＜t≤3，過(guò)P作PH⊥EF，垂足是H，
則PH=OE=t，∴，∴； 
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)P作PG⊥OA，垂足是G，
直線PG與EF相交于點(diǎn)R，則GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB，
∴△APG∽△ABO，
∴，
∴，∴，
當(dāng)P與F重合時(shí)，有PG=OE，此時(shí) ，解得t=8．PR=GR-PG，
∴，
∴，
當(dāng)3＜t＜8時(shí)，，
綜上所述，求得的解析式是；

（3）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)．過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足是D，過(guò)點(diǎn)F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，∠MDF=90°，tan∠MFD=tan∠BAO===，
令MD=4k，則DF=3k，
∴．
在△MAD中，，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，，
∴，MF=EF-EM，
∴，
解得，
當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)F右側(cè)．可計(jì)算得出；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，=，
令MD′=3m，則PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′-PD′，
∴AP=2m，，
∴，
解得，
綜上所述，滿足要求的t值是或或．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)已知得出M以及P點(diǎn)位置不同得出答案是解題關(guān)鍵．