Question

順次連接任意一個(gè)四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形依次是    ．

Answer 1

【答案】分析：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．需注意新四邊形的形狀只與對角線有關(guān)，不用考慮原四邊形的形狀．
解答：解：（1）順次連接任意一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形是平行四邊形．理由如下：
如圖，已知任意四邊形ABCD，E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)．連接BD．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中點(diǎn)，
∴GF∥BD，GF=BD，
∴EH=GF，EH∥DF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．

（2）順次連接任意一個(gè)矩形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形是菱形．理由如下：
如圖，連接AC、BD．
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四邊形EFGH為菱形．

（3）順次連接任意一個(gè)菱形的中點(diǎn)得出的四邊形是矩形．理由如下：
∵E，F(xiàn)是中點(diǎn)，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，F(xiàn)G∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
則四邊形EFGH是平行四邊形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四邊形EFGH是矩形．

（4）順次連接任意一個(gè)等腰梯形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形是菱形．理由如下：
連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)
∴EF=12AC，GH=12AC，EH=12BD，GF=12BD
∵AB=CD
∴AC=BD
∴EF=GH=EH=GF
∴四邊形EFGH菱形．
點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理，難度適中．