Question

如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC=BD．連接MF，NF．
（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AM是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EAB+∠EBA=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MF與AC的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得MF與BD的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得NM與BC的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠CBD與∠NMF的關(guān)系，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案．

解答：（1）答：△BMN是等腰直角三角形．
證明：∵AB=AC，點M是BC的中點，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，
∠EBN=∠ABN．
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=

1

2

（∠BAE+∠ABE）=45°．
∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．
證明：∵點F，M分別是AB，BC的中點，
∴FM∥AC，F(xiàn)M=

1

2

AC．
∵AC=BD，
∴FM=

1

2

BD，即

FM

BD

=

1

2

．
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM=BM=

1

2

BC，即

NM

BC

=

1

2

，
∴

FM

BD

=

NM

BC

．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB=90°．
∵FM∥AC，
∴∠ACB=∠FMB．
∵∠CEB=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°．
∴∠CBD+∠FMB=90°，
∴∠NMF=∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了銳角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．