Question

關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（包括兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根）
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
（3）若y=k（3+k）（x₁+x₂），k為自變量，用k表示y并求y的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可知，k≠0且△=（k+1）2-4k•≥0
∴k≥-且k≠0．
（2）不存在．
設(shè)方程的兩根是x₁，x₂．x₁x₂=≠0，
∴+==0．
∴x₁+x₂=0.，
∴k+1=0
k=-1＜-．
∴滿足條件的實(shí)數(shù)k不存在．
（3）y=-（k+1）（k+3）=-k²-4k-3=-（k+2）²+1，
∴對稱軸為k=-2，
∵k≥-且k≠0
∴k=-時(shí)有最大值y=-（-+2）²+1=-．
分析：（1）根據(jù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到其根的判別式大于等于零，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)；
（2）假設(shè)存在，利用兩實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為0求得k值即可；
（3）利用求二次函數(shù)最值的方法即可求得y的最大值；
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及二次函數(shù)的最值的知識，知識點(diǎn)較多，難度適中．