Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點，以O為圓心，線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF，$\widehat{EF}$經過點C，求：
（1）$\widehat{EF}$的長．
（2）陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據扇形的弧長公式：l=$\frac{nπr}{180}$計算即可；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC，證明△OMG≌△ONH，則S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}，求得扇形FOE的面積，則陰影部分的面積即可．

解答 解：（1）$\widehat{EF}$的長為：$\frac{90×π×1}{180}$=$\frac{π}{2}$；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點O為AB的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=1，四邊形OMCN是正方形，OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則扇形FOE的面積是：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
∵OA=OB，∠AOB=90°，點D為AB的中點，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
則在△OMG和△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠ONH}\\{∠GOM=∠HON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}=$\frac{1}{2}$．
則陰影部分的面積是：$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角形的全等的判定、扇形的弧長和扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△OMG≌△ONH，得到S_{四邊形OGCH}=S_{四邊形OMCN}是解題的關鍵．