Question

菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，E是AD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PE的值最小時(shí)，PC的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，則線段AE′的長(zhǎng)即為AP+PE的最小值，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性質(zhì)可知∠PDE′=

1

2

∠ADC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出PC的長(zhǎng)．

解答：解：如圖所示，
作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，則線段AE′的長(zhǎng)即為AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是AD邊中點(diǎn)，
∴DE=DE′=

1

2

AD=1，
∴△AE′D是直角三角形，
∵∠ABC=60°，
∴∠PDE′=

1

2

∠ADC=30°，
∴PE′=DE′•tan30°=

3

3

，
∴PC=

PE′2+CE′2

=

( 3 3 )2+12

=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．