Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，tan∠CAD=$\frac{4}{3}$，CA=CD，E、F分別是AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合），且∠FEC=∠ACB．
（1）求CD的長；
（2）若AF=2，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，可得∠CAD的正弦值，在直角三角形ACB中可求得到AC，從而求得CD的長度；
（2）作CM⊥AD于點(diǎn)M．利用兩角對應(yīng)相等求得三角形AEF與三角形DCE相似，利用其性質(zhì)可求DE的長．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
又∵∠B=90°，$tan∠CAD=\frac{4}{3}$，AB=8，
∴BC=6，$sin∠CAD=\frac{4}{5}$，
∴AC=10，
∴CD=CA=10；

（2）作CM⊥AD于點(diǎn)M．
∵AC=10，$sin∠CAD=\frac{4}{5}$，
∴CM=8，
∴AM=6，
∴AD=2AM=12，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠FEC=∠ACB=∠CAD，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{CD}{AE}$，
又∵AF=2，BC=6，CD=10，AD=12，
設(shè)x=DE，得$\frac{x}{2}=\frac{10}{12-x}$，
整理解得x=2或x=10，
即DE=2或DE=10．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)的定義等知識；應(yīng)用相似的性質(zhì)，得到比例式，借助比例式解題是很重要的方法．