Question

14．如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BD交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，連接AE，以下結(jié)論：
①BG=EG；②△HEF≌△CBF；③∠AEB+∠ACE=90°；④BG-CH=GH；⑤∠AEC+∠ABE=90°，其中正確的是①③④⑤（只填序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)角平分線定義得出∠ABE=∠CBE，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠CBE=∠BEG，從而得出∠ABE=∠BEG，由等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
②根據(jù)相似三角形的判定定理得到兩個(gè)三角形相似，不能得出全等；
③由于E是兩條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出點(diǎn)E到BA、AC、BC和距離相等，從而得出AE為∠BAC外角平分線這個(gè)重要結(jié)論，再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與外角性質(zhì)進(jìn)行角度的推導(dǎo)即可輕松得出結(jié)論．
④根據(jù)∠AEC=180-x-z，于是得到∠AEC=180-（y+90°），推出y+∠AEC=90°，即可得到結(jié)論；
⑤由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到結(jié)論．

解答 解：①∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，故①正確．
同理CH=HE．
②△HEF與△CBF只有兩個(gè)角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所有不能得出全等的結(jié)論，故②錯(cuò)誤．
③過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如圖，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE平分∠CAM，
設(shè)∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如圖，
則∠BAC=180°-2z，∠ACB=180-2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2y+180°-2z+180°-2x=180°，
∴x+z=y+90°，
∵z=y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB=y+90°，
∴x+∠AEB=90°，
即∠ACE+∠AEB=90°，故③正確．
④∵∠AEC=180-x-z，
∴∠AEC=180-（y+90°），
∴y+∠AEC=90°，
即∠ABE+∠AEC=90°，
故④正確．
⑤∵BG=GE，CH=EH，
∴BG-CH=GE-EH=GH．
故⑤正確．
綜上，①③④⑤正確．
故答案填①③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度中等．判斷出AE是∠BAC外角平分線是關(guān)鍵，事實(shí)上，點(diǎn)E就是△ABC的旁心．