Question

13．如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB=120°，求證：
（1）△ACP∽△PDB，
（2）CD²=AC•BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代換得到∠BPD=∠CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC=PD=CD，等量代換得到$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∵∠CAP+∠APC=60°
∴∠BPD=∠CAP，
∴△ACP∽△PDB；

（2）由（1）得△ACP∽△PDB，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∵△PCD是等邊三角形，
∴PC=PD=CD，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AC•BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．