Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接CD、DB、CB、AC．
①求證：△AOC∽△DCB；
②在坐標(biāo)軸上是否存在與原點(diǎn)O不重合的點(diǎn)P，使以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCB相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)Q是拋物線上一點(diǎn)，連接QB、QC，把△QBC沿直線BC翻折得到△Q′BC，若四邊形QBQ′C為菱形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）；

（2）①證明：可求得頂點(diǎn)D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=，BC=．
∴，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P₁（9，0）或P₂（0，）；

（3）若四邊形QBQ′C為菱形，則QQ′垂直平分BC，∴點(diǎn)Q在線段BC的垂直平分線上，
∵OC=OB，
∴直線QQ’平分∠BOC，
即：直線QQ′的解析式為y=x，
∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=，
∴Q（，）或（，）．
分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，所以把點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中得到關(guān)于b和c的方程，聯(lián)立解出b和c，即可得到拋物線的解析式，又因?yàn)辄c(diǎn)B是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，令y=0即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)（1）中求出的拋物線的解析式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)OC與OB相等且互相垂直得到三角形COB為等腰直角三角形，得到角OCB為45°，根據(jù)勾股定理分別求出CD和BC的長(zhǎng)，求出CD與CB的比值及OA與OC的比值，發(fā)現(xiàn)兩比值相等，且由角DCy與角BCO都等于45°，推出角DCB為90°，而角COA也為90°，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，得到兩三角形相似，得證；
②考慮兩種情況，當(dāng)P在x軸上（B的右邊），且角ACP為直角時(shí)，三角形ACP與三角形DCB，相似比為AC比CD，所以AP比DB也等于相似比即可求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)；當(dāng)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，角CAP為直角，AC比BC為相似比，斜邊CP與DB之比等于相似比即可求出CP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)；寫(xiě)出P的兩種情況的坐標(biāo)即可；
③若四邊形QBQ’C為菱形，根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)得到QQ′垂直平分BC，得到點(diǎn)Q在線段BC的垂直平分線上，由OB等于OC得到直線QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式為y=x，將y=x與拋物線的解析式聯(lián)立即可求出Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握兩三角形相似的證明方法，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．也是中考中的壓軸題．