Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°．點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DC→CA→AB以每秒3個單位長的速度勻速運(yùn)動；點(diǎn)P從點(diǎn)B沿BC以每秒1個單位長的速度勻速運(yùn)動，射線PK隨點(diǎn)P移動，保持與BC垂直，且交折線AB-AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止．P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)Q運(yùn)動的時間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時，BP=AF？
（2）當(dāng)t為何值時，QE⊥AB？
（3）設(shè)直線PK掃過菱形ABCD的面積為S，試求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)Q在線段CD上運(yùn)動時，請直接寫出△PQF為等腰三角形時t的值．

Answer 1

解：（1）∵PF⊥BC，∠ABC=60°，AB=10，
∴PF=5，
∵E為PF的中點(diǎn)，
∴PE=，
∴BP=，
∴．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在DC上時，
3t-5=10-2t
t=3．
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動時，不可能．
當(dāng)Q在AB上運(yùn)動時，
10-（10-t）-（3t-20）=5
t=7.5．

（3）在前5秒鐘內(nèi)，BP=t，PE=t，
∴S=t²（0≤t≤5）．
在5秒后運(yùn)動時，掃過的面積是梯形，
S=（t-5+t）=t-．

（4）△PQF為等腰三角形時，t=，．
分析：（1）當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時，AF=BP，根據(jù)PF⊥BC，∠ABC=60°，可求解．
（2）當(dāng)Q在CD上，AC上，AB上運(yùn)動時，根據(jù)不同情況求出解．
（3）開始掃過的是三角形的面積，以后掃過的是四邊形的面積，根據(jù)面積公式可求出函數(shù)式．
（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形，根據(jù)此可求出解．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的四邊相等，等腰三角形的判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)．