Question

（2009•來賓）如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，且OD⊥BC，垂足為F，OD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）證明：BE=CE；
（2）證明：∠D=∠AEC；
（3）若⊙O的半徑為5，BC=8，求△CDE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OD⊥BC運(yùn)用垂徑定理得到弧BE=弧CE，再根據(jù)等弧對(duì)等弦證明；
（2）結(jié)合切線的性質(zhì)定理和等角的余角相等，把∠D轉(zhuǎn)化為∠OCB，再根據(jù)等邊對(duì)等角和圓周角定理的推論進(jìn)行證明；
（3）根據(jù)垂徑定理可以求得DE邊上的高CF，只需求得DE的長(zhǎng)．要求DE的長(zhǎng)，求得OD的長(zhǎng)減去OE的長(zhǎng)就可．根據(jù)勾股定理首先求得OF的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OD的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵BC是⊙O的弦，半徑OE⊥BC，
∴BE=CE．

（2）證明：連接OC，
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．

（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF==3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽R(shí)t△ODC．
∴，即．
∴DE=OD-OE=-5=．
∴S_△CDE=•DE•CF=××4=．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了垂徑定理、切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)和判定．