Question

閱讀下列材料：
問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一張矩形紙片OBCD按圖1所示放置．已知OB=10，BC=6，將這張紙片折疊，使點(diǎn)O落在邊CD上，記作點(diǎn)A，折痕與邊OD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)E，與邊OB（含端點(diǎn)）或其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

小明在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)：要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，只要求出線段AD的長(zhǎng)即可，連接OA，設(shè)折痕EF所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F(xiàn)（-

n

k

，0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=-k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函數(shù)值相等，就可以求出線段DA的長(zhǎng)（如圖1）
請(qǐng)回答：
（1）如圖1，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在圖2中，已知點(diǎn)O落在邊CD上的點(diǎn)A處，請(qǐng)畫出折痕所在的直線EF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；
參考小明的做法，解決以下問(wèn)題：
（3）將矩形沿直線y=-

1

2

x+n折疊，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（4）將矩形沿直線y=kx+n折疊，點(diǎn)F在邊OB上（含端點(diǎn)），直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=-k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函數(shù)值相等，就可以求出線段DA的長(zhǎng)；
（2）作OA的中垂線即可；
（3）如圖，設(shè)直線y=-

1

2

x+n，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，從而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以

AE

FA

=

DA

GF

，由FG=CB=6解得DA=3，從而求得A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)圖象和矩形的邊長(zhǎng)可直接得出k的取值范圍，

解答：解：（1）如圖1若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

3

，6）；

（2）如圖所示：
 

（3）如圖，過(guò)的F作FG⊥DC于G
∵EF解析式為y=-

1

2

x+n，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），
∴OE=n
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），
∴OF=2n
∵△AEF與△OEF全等，
∴OE=AE=n，AF=OF=2n
∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=90°
∴∠1+∠3=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△DEA與△GAF中，

∠1=∠2 ∠ADE=∠AGF

∴△DEA∽△GAF（AA）
∴

AE

FA

=

DA

GF

∵FG=CB=6
∴

n

2n

=

DA

6

∴DA=3
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）．


（4）-1≤k≤-

1

3

．
∵矩形沿直線y=kx+n折疊，點(diǎn)F在邊OB上，（1）當(dāng)E點(diǎn)和D點(diǎn)重合時(shí)，k的值為-1，（2）當(dāng)F點(diǎn)和B點(diǎn)重合時(shí)，k的值為-

1

3

；

∴-1≤k≤-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：這是一道有關(guān)折疊的問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．