Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊BC，AB上的中點，連接DE并延長至點F，使EF=2DE，連接CE、AF．

（1）證明：AF=CE；
（2）當∠B=30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點D，E分別是邊BC，AB上的中點，

∴DE∥AC，AC=2DE，

∵EF=2DE，

∴EF∥AC，EF=AC，

∴四邊形ACEF是平行四邊形，

∴AF=CE；

（2）解：當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形；理由如下：

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，AC= AB=AE，

∴△AEC是等邊三角形，

∴AC=CE，

又∵四邊形ACEF是平行四邊形，

∴四邊形ACEF是菱形．

【解析】（1）先由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC=2DE，再由平行四邊形的判定，得出四邊形ACEF是平行四邊形，由平行四邊形的性質即可得到AF=CE；
（2）由直角三角形的性質得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC=CE，即可得到四邊形ACEF是菱形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．