Question

如圖，直線AB：y=-x-b分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸于C，且OB：OC=3：1．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線BC的解析式；
（3）直線EF：y=2x-k（k≠0）交AB于E，交BC于點F，交x軸于點D，是否存在這樣的直線EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將點A（6，0）代入直線AB的解析式，可得b的值，繼而可得點B的坐標；
（2）設BC的解析式是y=ax+c，根據B點的坐標，求出C點坐標，把B，C點的坐標分別代入求出a和c的值即可；
（3）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，有題目的條件證明△NFD≌△EDM，進而得到FN=ME，聯立直線AB：y=-x-b和y=2x-k求出交點E和F的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值；

解答：解：（1）將點A（6，0）代入直線AB解析式可得：0=-6-b，
解得：b=-6，
∴直線AB 解析式為y=-x+6，
∴B點坐標為：（0，6）．


（2）∵OB：OC=3：1，
∴OC=2，
∴點C的坐標為（-2，0），
設BC的解析式是y=ax+c，代入得；

-2a+c=0 c=6

，
解得：

a=3 c=6

，
∴直線BC的解析式是：y=3x+6．

（3）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME，
聯立得

y=2x-k y=-x+6

，
解得：y_E=-

1

3

k+4，
聯立

y=2x-k y=3x+6

，
解得：y_F=-3k-12，
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴3k+12=-

1

3

k+4，
∴k=-2.4；
當k=-2.4時，存在直線EF：y=2x-2.4，使得S_△EBD=S_△FBD．

點評：本題考查了一次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、兩直線的交點及三角形的面積，綜合考察的知識點較多，注意基本知識的掌握，將所學知識融會貫通，難度較大．