Question

8．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=$2\sqrt{2}$，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰好在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為$\frac{π}{2}$-1（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，證明△DMG≌△DNH，則S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}，求得扇形FDE的面積，則陰影部分的面積即可求得．

解答 解：連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，四邊形DMCN是正方形，DM=1．
則扇形FDE的面積=$\frac{90π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DMG=∠DNH\\∠GDM=∠HDN\\ DM=DN\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}=1．
∴陰影部分的面積=$\frac{π}{2}$-1．
故答案為：$\frac{π}{2}$-1．

點評 本題考查的是扇形面積的計算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出正方形，得到S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}是解答此題的關(guān)鍵．