Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y＝x²上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限內(nèi))．連接OP，過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q．連接PQ，交y軸于點(diǎn)M．作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)如圖1，當(dāng)m＝時(shí)，

①求線段OP的長和tan∠POM的值；

②在y軸上找一點(diǎn)C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E．

①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結(jié)論． 　　②題干要求△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，所以分QO＝OC、QC＝QO兩種情況來判斷： 　　QO＝QC時(shí)，Q在線段OC的垂直平分線上，Q、O的縱坐標(biāo)已知，C點(diǎn)坐標(biāo)即可確定； 　　QO＝OC時(shí)，先求出OQ的長，那么C點(diǎn)坐標(biāo)可確定． 　　(2)①由∠QOP＝90°，易求得△QBO∽△MOA，通過相關(guān)的比例線段來表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； 　�、谠谒倪呅蜲DME中，已知了一個(gè)直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對(duì)邊平行來得證． 　　解答：解：(1)①把x＝代入y＝x2，得y＝2，∴P(，2)，∴OP＝ 　　∵PA丄x軸，∴PA∥MO．∴tan∠P0M＝tan∠0PA＝＝． 　�、谠O(shè)Q(n，n2)，∵tan∠QOB＝tan∠POM， 　　∴．∴n＝ 　　∴Q(，)，∴OQ＝． 　　當(dāng)OQ＝OC時(shí)，則C1(0，)，C2(0，)； 　　當(dāng)OQ＝CQ時(shí)，則C3(0，1)． 　　綜上所述，所求點(diǎn)C坐標(biāo)為：C1(0，)，C2(0，)，C3(0，1)． 　　(2)①∵P(m，m2)，設(shè)Q(n，n2)，∵△APO∽△BOQ，∴ 　　∴，得n＝，∴Q(，)． 　　②設(shè)直線PO的解析式為：y＝kx＋b，把P(m，m2)、Q(，)代入，得： 　　 　　解得b＝1，∴M(0，1) 　　∵，∠QBO＝∠MOA＝90°， 　　∴△QBO∽△MOA 　　∴∠MAO＝∠QOB， 　　∴QO∥MA 　　同理可證：EM∥OD 　　又∵∠EOD＝90°， 　　∴四邊形ODME是矩形． 　　點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)；(1)②題中，要注意分類進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解的情況．

提示：

二次函數(shù)綜合題．