Question

如圖，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，過(guò)P點(diǎn)作PM、PE交CD于M，交AB于E．
（1）求證：PA⊥PC；
（2）當(dāng)E、M在AB、CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則①∠1+∠2+∠3+∠4不變；②∠3+∠4-∠1-∠2不變，選擇正確給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠BAC+∠DCB=90°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠PAC=

1

2

∠BAC，∠PCA=

1

2

∠DCA，則∠PAC+∠PCA=90°，所以∠APC=90°；
（2）作PQ∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得到PQ∥CD，則∠APQ=180°-∠3-∠4，∠5=∠2，由于∠APQ+∠5+∠1=90°，則180°-∠3-∠4+∠2+∠1=90°，整理得到∠3+∠4-∠1-∠2=90°．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCB=90°，
∵PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，
∴∠PAC=

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2

∠BAC，∠PCA=

1

2

∠DCA，
∴∠PAC+∠PCA=

1

2

（∠BAC+∠DCA）=90°，
∴∠APC=90°，
∴PA⊥PC；
（2）解：②∠3+∠4-∠1-∠2不變正確．理由如下：作PQ∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°，即∠APQ=180°-∠3-∠4，
由PQ∥CD得∠5=∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1=90°，
∴180°-∠3-∠4+∠2+∠1=90°，
∴∠3+∠4-∠1-∠2=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．