Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點F為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知點的坐標代入拋物線的交點式即可確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先利用m表示出線段AM的長，然后利用△AMN∽△ABC得到比例式，最后得到有關m的二次函數(shù)求最值即可；
（3）此題可分作兩種情況考慮：
①AF∥DE；根據(jù)拋物線的解析式可求得C點坐標，可得C、D關于拋物線對稱軸對稱，即C、D的縱坐標相同，所以CD∥x軸，那么C點就是符合條件的G點，易求得CD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知BE=CD，由此可得到BE的長，將B點坐標向左或向右平移CD個單位即可得到兩個符合條件的E點坐標；
②AD∥EF；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，此時G、D的縱坐標互為相反數(shù)，由此可求得G點的縱坐標，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點的坐標；那么將G點的橫坐標減去3（B、D橫坐標差的絕對值），即可得到兩個符合條件的E點坐標；
綜上所述，符合條件的E點坐標應該有4個．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點C的坐標帶入，求得a=

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（2）設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H（如圖（1））．
∵點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

×AM×CO-

1

2

AM×NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴當m=2時，S_△CMN有最大值4．
此時，點M的坐標為（2，0）．

（3）∵點D（4，k）在拋物線y=

1

3

x²-

4

3

x-4上，
∴當x=4時，k=-4，
∴D點的坐標是（4，-4）．
如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF∥DE，
∵D（4，-4），
∴E（0，-4），DE=4．
∴F₁（-6，0），F(xiàn)₂（2，0）．
如圖（3）當AF為平行四邊形的對角線時，
設F（n，0），則平行四邊形的對稱中心為（

n-2

2

，0）．
∴E’的坐標為（n-6，4）．
把E’（ n-6，4）代入y=

1

3

x²-

4

3

x-4，
得n²-16n+36=0．
解得n=8±2

7

．
F₃（8-2

7

，0），F(xiàn)₄（8+2

7

，0）．

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；要特別注意的是（3）題中，由于沒有明確BD是平行四邊形的邊還是對角線，所以一定要分類討論，以免漏解．