Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D（4，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的交點(diǎn)式即可確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先利用m表示出線段AM的長，然后利用△AMN∽△ABC得到比例式，最后得到有關(guān)m的二次函數(shù)求最值即可；
（3）此題可分作兩種情況考慮：
①AF∥DE；根據(jù)拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可得C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即C、D的縱坐標(biāo)相同，所以CD∥x軸，那么C點(diǎn)就是符合條件的G點(diǎn)，易求得CD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知BE=CD，由此可得到BE的長，將B點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移CD個(gè)單位即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
②AD∥EF；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，此時(shí)G、D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)；那么將G點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去3（B、D橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值），即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該有4個(gè)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)帶入，求得a=

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖（1））．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

×AM×CO-

1

2

AM×NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴當(dāng)m=2時(shí)，S_△CMN有最大值4．
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．

（3）∵點(diǎn)D（4，k）在拋物線y=

1

3

x²-

4

3

x-4上，
∴當(dāng)x=4時(shí)，k=-4，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，-4）．
如圖（2），當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí)，AF∥DE，
∵D（4，-4），
∴E（0，-4），DE=4．
∴F₁（-6，0），F(xiàn)₂（2，0）．
如圖（3）當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
設(shè)F（n，0），則平行四邊形的對(duì)稱中心為（

n-2

2

，0）．
∴E’的坐標(biāo)為（n-6，4）．
把E’（ n-6，4）代入y=

1

3

x²-

4

3

x-4，
得n²-16n+36=0．
解得n=8±2

7

．
F₃（8-2

7

，0），F(xiàn)₄（8+2

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；要特別注意的是（3）題中，由于沒有明確BD是平行四邊形的邊還是對(duì)角線，所以一定要分類討論，以免漏解．