Question

如圖9, 已知拋物線與軸交于A (－4，0) 和B(1，0)兩點(diǎn)，與軸交于C（0，-2）點(diǎn)．

1.求此拋物線的解析式；

2.設(shè)G是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作GH//AC交AB于H，連接CF，當(dāng)△BGH的面積是△CGH面積的3倍時(shí)，求H點(diǎn)的坐標(biāo);

3.若M為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作軸的平行線，交AC于N，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段MN的值最大，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x－x₁)(x－x₂)

∵二次函數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)可得：

　　　　　　∴x₁ =－4    x₂=1……………………………………………….1分

            ∴y=a(x+4)(x－1)

            把C（0，-2）代入y=a(x+4)(x－1)得：a=

　　　　　　故所求二次函數(shù)的解析式為y= (x+4)(x－1)

=x²+x－2．

2.∵S_△BGH =2 S_△CGH

……………………………………………4分

            ∵GH//AC, ,

          ∴△BGH～△BAC,

 ……………6分

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0).    ………………………….7分

3.若設(shè)直線的解析式為

∵ A、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－4,0）、（0，－2）．

則有　解得：  

故直線的解析式為．……………………8分       

若設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，又N點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)M所作軸的平行線與直線的交點(diǎn)，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為（．則有：

　　　　　　　MN=＝

＝……………………………………….9分

即當(dāng)時(shí)，線段MN取大值，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－3）…………10分

【解析】（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）PQ的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，用m表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時(shí)，m的值，也就能求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．