Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，且OA=OB=5．點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線AC交y軸于點(diǎn)F．射線BD與直線AC垂直，垂足為點(diǎn)D，且交x軸于點(diǎn)M．OE⊥OC，交射線BD于點(diǎn)E．
（1）求證：不論點(diǎn)C怎樣變化，點(diǎn)O總是在線段CE的垂直平分線上；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），求直線BD的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）若要證明不論點(diǎn)C怎樣變化，點(diǎn)O總是在線段CE的垂直平分線上，則問題可轉(zhuǎn)化為證明OC=OE，所以此題可通過證明兩次三角形全等即可；
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=ax+b，把A，C坐標(biāo)代入可求出a和b的值，進(jìn)而可求出OF的長，因?yàn)镺F=OM，所以M的坐標(biāo)又可求出，再設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，把M和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k和b的值即可求出直線BD的解析式．

解答：（1）證明：∵BD⊥AC，
∴∠BDF=90°，
∴∠OBM+∠OFA=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠OAF+∠OFA=90°，
∴∠OAF=∠OBM，
在△OAF和△OBM中，

∠OAF=∠OBM OA=OB ∠FOA=∠MOB=90°

，
∴△OAF≌△OBM，
∴OF=OM，∠OFA=∠OMB，
∵OC⊥OE，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOF∠AOC=∠EOC-∠AOC，
∴∠FOC=∠MOE，
在△OFC和△OME中，

∠OFC=∠OME OF=OM ∠FOC=∠MOE

，
∴△OFC≌△OME，
∴OC=OE，
∴不論點(diǎn)C怎樣變化，點(diǎn)O總是在線段CE的垂直平分線上；
（2）解：設(shè)直線AC的解析式為：y=ax+b，把A，C坐標(biāo)代入可求出a=-

4

3

，b=

20

3

∴直線線AC的解析式為y=-

4

3

x+

20

3

，
令x=0，可求得y=

20

3

，
∴OM=OF=

20

3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

20

3

，0）
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，把M（

20

3

，0）和B（0，-5）的坐標(biāo)代入得：

0= 20 3 k+b b=-5

解得：

k= 3 4 b=-5

，
∴直線BD的解析式為y=

3

4

x-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．