Question

                                                             

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸；

（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+4的圖象經過點A（﹣2，0），

∴﹣×（﹣2）²+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，

∴拋物線解析式為 y=﹣x²+x+4，

又∵y=﹣x²+x+4=﹣（x﹣3）²+，

∴對稱軸為：直線x=3．

（2）在y=﹣x²+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；                

令y=0，即﹣x²+x+4=0，整理得x²﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，     （第25題答案圖）  

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：，

解得k=，b=4，

∴直線BC的解析式為：y=x+4．                                                                          （3）∵拋物線的對稱軸為：x=3，可設點Q（3，t），則可求得：

AC===，

AQ==，                                          

CQ==．

i）當AQ=CQ時，

有=，解得t=0，∴Q₁（3，0）；

ii）當AC=AQ時，

有=，t²=﹣5，此方程無實數根，∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；

iii）當AC=CQ時，