Question

已知，如圖，EB是⊙O的直徑，且EB=6，在BE的延長線上取點(diǎn)P，使EP=EB，A是EP上一點(diǎn)，過A作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，過D作DF⊥AB于F，過B作AD的垂線BH，交AD的延長線于H．當(dāng)點(diǎn)A在EP上運(yùn)動(dòng)，不與E重合時(shí)：
（1）是否總有

AD

AH

=

ED

FH

，試證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)ED=x，BH=y，求y和x的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：①欲證所求的比例式，只需證得DE∥FH即可．連接BD，設(shè)BD與FH的交點(diǎn)為G，由于HD切⊙O于D，根據(jù)弦切角定理知∠HDB=∠DEB，在Rt△DEB中，易證得∠DEB=∠FDB，則∠FDB=∠HDB，即可證得△DFB≌△DHB，由此可得BH=BF，即△BFH是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得BD⊥FH，而BD⊥DE，則FH∥DE，由此得證．
②由于BH=BF，根據(jù)EB的長，可用y表示出EF的值，進(jìn)而在Rt△DEB中，根據(jù)射影定理得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；求x的取值范圍時(shí)，只需考慮x的最大值即可，當(dāng)A、P重合時(shí)，若連接OD，則OD⊥PH，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可求得BH的長，進(jìn)而可得到BF、EF的值，然后根據(jù)射影定理即可求得DE的長，由此求得x的取值范圍．

解答：解：①無論點(diǎn)A在EP上怎么移動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合），
總有

AD

AH

=

ED

FH

（3分）
證明：連接DB，交FH于G．
∵AH是⊙O的切線，∴∠HDB=∠DEB．
又∵BH⊥AH，BE為直徑，
∴∠BDE=90°．
有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH．
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，
DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴△DFB≌△DHB．（4分）
∴BH=BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴

AD

AH

=

FD

FH

（5分）

②∵ED=x，BH=y，BE=6，BF=BH，
∴EF=6-y，
又∵DF是Rt△BDE斜邊上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴

EF

ED

=

ED

EB

即ED²=EF•EB．
∴x²=6（6-y）即y=-

1

6

x²+6（7分）
∴ED=x＞0，
當(dāng)A從E向左移動(dòng)，ED逐漸增大，
當(dāng)A和P重合時(shí)，ED最大，
這時(shí)，連接OD，則OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO=PE+EO=6+3=9，PB=12，

OD

BH

=

PO

PB

，BH=

OD•PB

PO

=4
∴BF=BH=4，EF=EB-BF=6-4=2．
由ED²=EF•EB，得：x²=2×6=12，
∵x＞0，∴x=2

3

，
∴0＜x≤2

3

，
[或由BH=4=y，代入y=-

1

6

x²+6中，得x=2

3

]
故所求函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

6

x²+6（0＜x≤2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)；（2）①中，能夠構(gòu)造出與所求相關(guān)的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．