Question

在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，AH⊥BE于點(diǎn)H，CH交AD于點(diǎn)F，EF=1，求正方形的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：利用條件可以證明△AHE∽△BHA，且且AB=2AE，設(shè)EH=a，則有HA=2a，HB=4a，結(jié)合EF∥BC，代入對應(yīng)邊的比例式可求得BC的長，即可求得正方形的邊長．

解答：
解：設(shè)EH=a，
∵AH⊥BE，且∠BAE=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，∠EAH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠EAH，且∠AHB=AHE=90°，
∴△AHE∽△BHA，且AB=2AE，
∴

AE

AB

=

EH

AE

=

AH

BH

=

1

2

，
∴HA=2a，HB=4a，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

EH

BH

=

1

4

，
∵EF=1，
∴BC=4，即正方形的邊長為4．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似找到AH和BH之間的關(guān)系，再利用平行線分線段成比例的性質(zhì)求得．