Question

如圖所示，一根長(zhǎng)2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由．
（2）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不會(huì)變化．根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷；
（2）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)，△AOB的面積最大，就可以求出．

解答：解：（1）不變．
理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，
∵斜邊AB不變，
∴斜邊上的中線OP不變；

（2）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)，△AOB為等腰直角三角形時(shí)，面積最大，
理由為：
證明：如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，
故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)，△AOB的面積最大，
此時(shí)，S_△AOB=

1

2

AB•h=

1

2

×2a•a=a2．
∴△AOB的最大面積為a²．

點(diǎn)評(píng)：此題利用了在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時(shí)理解△AOB的面積什么情況最大是解決本題的關(guān)鍵．