Question

6．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為點(diǎn)M，N．求證：AP=MN．

Answer 1

分析 連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四邊形PMCN是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得PC=MN，再利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=PC，從而得解．

解答 解：連接PC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
又∵PN⊥DC，PM⊥BC，
∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴四邊形PMCN為矩形，
∴PC=MN，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．