Question

18．設(shè)a、b、c滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-bc-8a+7=0}\\{^{2}+{c}^{2}+bc-6a+6=0}\end{array}\right.$
（1）求a的范圍；
（2）對滿足方程組（*）的任意a值，都有$\sqrt{a+3}$-a＞m（m為常數(shù)），求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）①+②得a²+b²+c²=14a-13，進一步得到b²+c²=-a²+14a-13=-（a-7）²+36，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出a的取值范圍；
（2）令t=$\sqrt{a+3}$，可得$\sqrt{a+3}$-a=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，把t的范圍代入$\sqrt{a+3}$-a，可求m的范圍．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-bc-8a+7=0①}\\{^{2}+{c}^{2}+bc-6a+6=0②}\end{array}\right.$，
①+②得a²+b²+c²=14a-13，
b²+c²=-a²+14a-13=-（a-7）²+36，
∵b²+c²≥0，
∴-（a-7）²+36≥0，
∴（a-7）²≤36，
∴-6≤a-7≤6
∴1≤a≤13．
故a的范圍為：1≤a≤13．
（2）令t=$\sqrt{a+3}$，
則t²=a+3，即a=t²-3，
則$\sqrt{a+3}$-a
=t-t²+3
=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$
∵2≤t≤4，
∴$\sqrt{a+3}$-a的最小值是-（4-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$=-9，
∴m＜-9．
故m的范圍是m＜-9．

點評 本題考查的是高次方程、完全平方公式及最值問題，能把方程化為完全平方公式的形式是解答此題的關(guān)鍵．