Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=4cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同時(shí)出發(fā)，以1cm/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)四邊形EFGH的面積為S平方厘米，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）．
（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，如圖1所示，求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）當(dāng)四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時(shí)，如圖3所示．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）
①∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H在四條邊上的運(yùn)動(dòng)速度相同
∴AE=BF=CG=DH
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴EH=FE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
同理可得：EH=FE=GF=HG
∴四邊形EFGH是菱形．
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四邊形EFGH為正方形．（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）

（2）四邊形EFGH的面積存在最小值，理由如下：
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線于N，
設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴．
同理得．
故，
．
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，
∴四邊形EFGH的面積．
∴S=（t-2）²+4，
當(dāng)t=2秒時(shí)，四邊形EFGH的面積取最小值等于4cm²．
分析：（1）根據(jù)題意，易得AE=BF=CG=DH，又由四邊形ABCD是正方形，可得∠A=∠B=90°，AB=DA，進(jìn)而可得四邊形EFGH是菱形，又由∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°，可證四邊形EFGH是正方形；
（2）根據(jù)題意，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線于N，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，可得HM與AH的關(guān)系，四邊形EFGH的面積與t的關(guān)系，其關(guān)系式為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，易得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形、菱形、三角形的判定與性質(zhì)．注意熟練掌握性質(zhì)，結(jié)合題意，全面分析．