Question

15．如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，∠B是銳角，且sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，tanA=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，求邊AB的長和cos∠CDB的值．

Answer 1

分析 CE⊥AB于點E，分別解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的長，可得AB；根據(jù)中線結(jié)合BD的長可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，繼而計算得cos∠CDB．

解答 解：過點C作CE⊥AB于點E，

在RT△BCE中，∵BC=2$\sqrt{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=BC•sinB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
在RT△ACE中，∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{CE}{tanA}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴AB=AE+BE=4+2=6，
∵CD是邊AB上的中線，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DE=BD-BE=1，
在RT△CDE中，∵CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠CDB=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故邊AB的長為6，cos∠CDB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查了解直角三角形的能力，構建直角三角形是解題的前提，依據(jù)三角函數(shù)、勾股定理解直角三角形求出所需線段的長是解題的關鍵．