Question

12．如圖①，拋物線y=ax²+bx+c與x軸正半軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，直線y=-x+2經(jīng)過A，C兩點，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸，并從點C開始以每秒1個單位長度的速度沿y軸負半軸方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D兩點，同時動點P從點B出發(fā)，向BO方向以每秒2個單位長的速度運動（如圖②），連接DP，設(shè)點P的運動時間為t秒（t＜2），若以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值；
（3）在（2）的條件下，若△EDP是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）求出A、B兩點坐標，可以設(shè)拋物線為y=a（x-2）（x-4），把點C坐標代入即可求出a．
（2）分兩種情形①當△DBP∽△CBA時，$\frac{DB}{CB}$=$\frac{BP}{BA}$，②當△DBP∽△ABC時，$\frac{DB}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$，列出方程即可解決．
（3）分三種情形①當DE=EP ②當DE=DP③當EP=DP，分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）在y=-x+2中，令x=0，y=2；令y=0，x=2，得A（2，0），C（0，2），
又∵AB=2，
∴B（4，0），
∴設(shè)拋物線為y=a（x-2）（x-4），把C點坐標代入，得8a=2，a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（2）∵AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{5}$．BP=2t，CE=t，
又∵DE∥x軸，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{CD}{2\sqrt{5}}$，
∴CD=$\sqrt{5}$t，
∴DB=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t．
當△DBP∽△CBA時，$\frac{DB}{CB}$=$\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{\sqrt{5}（2-t）}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2t}{2}$，
∴t=$\frac{2}{3}$；    
當△DBP∽△ABC時，$\frac{DB}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}（2-t）}{2}$=$\frac{2t}{2\sqrt{5}}$，
∴t=$\frac{10}{7}$．
（3）∵DE∥OB，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{CE}{CO}$，∵CE=t
∴DE=2t，
∵直線BC為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴D（2t，-t+2），E（0，2-t），P（4-2t，0），
EP=$\sqrt{O{E}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$（2-t），DP=$\sqrt{（4-4t）^{2}+（2-t）^{2}}$；
①當DE=EP時，2t=-$\sqrt{5}$t+2$\sqrt{5}$，∴t=2$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$-2）=10-4$\sqrt{5}$＜2；    
②當DE=DP時，4t²=t²-4t+4+16t²-32t+16，
13t²-36t+20=0，t₁=$\frac{10}{13}$＜2，t₂=2（舍）；                                                
③當EP=DP時，5（2-t）²，=16（1-t）²+（2-t）²，
2-t=±2（1-t），
t₁=$\frac{4}{3}$＜2，t₂=0（舍）．
綜上所述，符合條件的t值有：t₁=10-4$\sqrt{5}$，t₂=$\frac{10}{13}$，t₃=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，利用相似三角形性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．