Question

5．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象交x軸于A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．

（1）求二次函數(shù)的解析式； 
（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，當(dāng)t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，請直接寫出N點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）首先根據(jù)待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點P、點Q的坐標各是多少；然后分兩種情況：①當(dāng)∠QPB=90°時；②當(dāng)∠PQB=90°時；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延長MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，再用待定系數(shù)法，求出PQ所在的直線的解析式，然后根據(jù)PQ的中點恰為MN的中點，判斷出是否存在滿足題意的點N即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達式是：y=x²-2x-3．
（2）∵y=x²-2x-3，
∴點C的坐標是（0，-3），
①如圖1：
，
當(dāng)∠QPB=90°時，
∵經(jīng)過t秒，AP=t，BQ=$\sqrt{2}$t，BP=3-（t-1）=4-t．
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴BQ=$\sqrt{2}$BP
∴$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$×（4-t）
解得t=2．
即當(dāng)t=2時，△BPQ為直角三角形．
②如圖2：
，
當(dāng)∠PQB=90°時，
∵∠PBQ=45°，
∴BP=$\sqrt{2}$BQ．
∵BP═4-t，BQ=$\sqrt{2}$t，
∴4-t=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t
解得t=$\frac{4}{3}$
即當(dāng)t=$\frac{4}{3}$時，△BPQ為直角三角形．
綜上，當(dāng)△BPQ為直角三角形，t=2或$\frac{4}{3}$．
（3）N點的坐標是（2，-3）
（3）如圖3：
，
延長MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，
設(shè)PQ所在的直線的解析式是y=px+q，
∵點P的坐標是（t-1，0），點Q的坐標是（3-t，-t），
$\left\{\begin{array}{l}{p（t-1）+q=0}\\{p（3-t）+q=-t}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{t}{2t-4}}\\{q=\frac{t-{t}^{2}}{4-2t}}\end{array}\right.$．
∴PQ所在的直線的解析式是y=$\frac{t}{2t-4}$x+$\frac{t-{t}^{2}}{4-2t}$，
∴點M的坐標是（0，$\frac{t-{t}^{2}}{4-2t}$）．
∵$\frac{t-1+3-t}{2}$=1，$\frac{-t+0}{2}$=-$\frac{t}{2}$，
∴PQ的中點H的坐標是（1，-$\frac{t}{2}$）
假設(shè)PQ的中點恰為MN的中點，
∵1×2-0=2，$\frac{t}{2}$×2-$\frac{t-{t}^{2}}{4-2t}$=$\frac{3{t}^{2}-5t}{4-2t}$，
∴點N的坐標是（2，$\frac{3{t}^{2}-5t}{4-2t}$），
又∵點N在拋物線上，
∴$\frac{3{t}^{2}-5t}{4-2t}$=2²-2×2-3=-3，
∴點N的坐標是（2，-3），
解得t=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$或t=$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，
∵t＜2，
∴t=$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$，
∴當(dāng)t＜2時，延長QP交y軸于點M，當(dāng)t=$\frac{9-\sqrt{33}}{2}$時在拋物線上存在一點N（2，-3），使得PQ的中點恰為MN的中點．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力；（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；（3）此題還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握．