Question

23、某班的全體學(xué)生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學(xué)生在這三個項目都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：
求這個班的學(xué)生數(shù)．

Answer 1

分析：首先令短跑測試人數(shù)為A、游泳測試人數(shù)為B、籃球測試人數(shù)為C．根據(jù)題目說明及表將原題改寫為：
A=17，B=18，C=15，A∪B=6，B∪C=6，A∪C=5，A∩B∩C=2，求A∪B∪C的值．再利用容斥定理加以解決．

解答：解：有4名學(xué)生在這三個項目都沒有達到優(yōu)秀，在每個單項上達到優(yōu)秀的人數(shù)分別是17，18，15，
因而，總?cè)藬?shù)是17+18+15+4=54，
但其中有人獲得兩項優(yōu)秀，所以上面的計數(shù)產(chǎn)生了重復(fù)，重復(fù)人數(shù)應(yīng)當(dāng)減去，
即總?cè)藬?shù)變?yōu)椋?4-6-6-5=37，
又考慮到獲得三項優(yōu)秀的人，他們一開始被重復(fù)計算了三次，但在后來又被重復(fù)減去了三次，
所以最后還要將他們加進去．
即這個班學(xué)生數(shù)為：37+2=39．

點評：本題考查容斥定理，如用常規(guī)的方法作合并運算時會把重復(fù)的部分多算，需要減去；作排除運算時會把重復(fù)部分多減，采用容斥原理加以解決就避免了這些問題，因而同學(xué)們一定要靈活掌握容斥定理的定義及公式．