Question

17．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)E，∠C=2∠DAE，AC=11，AB=6，則CE=$\frac{55}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠DAE=α，H是△ABC的內(nèi)心，連接BH、CH，由內(nèi)心性質(zhì)得∠AHB=90°+α，由直角三角形的外角證得∠AEC=90°+α，再由AE平分∠BAC，證得△AHB∽△AEC，得出$\frac{AE}{AH}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{11}{6}$，推出$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，由△AHC和△EHC等高，得出$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，再由S_△EHC=$\frac{1}{2}$CE•CHsinα，S_△AHC=$\frac{1}{2}$AC•CHsinα，即可得出結(jié)果．

解答 解：設(shè)∠DAE=α，則∠C=2α，
設(shè)H是△ABC的內(nèi)心，連接BH、CH，如圖所示：
由內(nèi)心性質(zhì)得：∠AHB=90°+α，
∵AD⊥BC，
∴∠AED=90°-α，
∴∠AEC=180°-∠AED=90°+α，
∴∠AHB=∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAH=∠CAE，
∴△AHB∽△AEC，
∴$\frac{AE}{AH}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，
∵△AHC和△EHC等高，
∴$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，
∵S_△EHC=$\frac{1}{2}$CE•CHsinα，S_△AHC=$\frac{1}{2}$AC•CHsinα，
∴$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{5}{6}$，
∴CE=$\frac{55}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)心與性質(zhì)、比例的性質(zhì)、三角形面積的求法、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，確定內(nèi)心位置，并運(yùn)用三角形面積的不同計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．