Question

10．如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），以A為圓心的⊙A切x軸于點(diǎn)B，P（m，n）為⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鱪+m的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)m+n=k，則點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=k上，易得直線y=-x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），于是可判斷當(dāng)直線y=-x+k與⊙A在上方相切時(shí)，k的值最大；直線y=-x+k與x軸交于點(diǎn)C，切⊙A于P，作PD⊥x軸于D，AE⊥PD于E，連接AB，如圖，則C（k，0），利用直線y=-x+k的性質(zhì)易得∠PCD=45°，則△PCD為等腰直角三角形，接著根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四邊形ABDE為矩形，∠APE=45°，則DE=AB=1，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以PD=PE+DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=$\sqrt{2}$PD得到2+k=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1），解得k=$\sqrt{2}$-1，從而得到n+m的最大值為$\sqrt{2}$-1．

解答 解：設(shè)m+n=k，則點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=k上，當(dāng)x=0時(shí)，y=k，即直線y=-x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），
所以當(dāng)直線y=-x+k與⊙A在上方相切時(shí)，k的值最大，
直線y=-x+k與x軸交于點(diǎn)C，切⊙A于P，作PD⊥x軸于D，AE⊥PD于E，連接AB，如圖，
當(dāng)y=0時(shí)，-x+k=0，解得x=k，則C（k，0），
∵直線y=-x+k為直線y=-x向上平移k個(gè)單位得到，
∴∠PCD=45°，
∴△PCD為等腰直角三角形，
∵CP和OB為⊙A的切線，
∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，
∴四邊形ABDE為矩形，∠APE=45°，
∴DE=AB=1，
∵△APE為等腰直角三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=PE+DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
在Rt△PCD中，∵PC=$\sqrt{2}$PD，
∴2+k=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1），解得k=$\sqrt{2}$-1，
∴n+m的最大值為$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是確定直線y=-x+k與⊙A相切時(shí)n+m的最大值．