Question

如圖1，有兩全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分別為△ABC，△DEF的重心．固定D點(diǎn)，將△DEF逆時針旋轉(zhuǎn)，使得A落在上，如圖2所示．求圖1與圖2中，兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為何（ ）

A．2：1
B．3：2
C．4：3
D．5：4

Answer 1

【答案】分析：設(shè)三角形的邊長是x，則（1）中陰影部分是一個內(nèi)角是60°的菱形，圖（2）是個角是30°的直角三角形，分別求得兩個圖形的面積，即可求解．
解答：解：設(shè)三角形的邊長是x，則高長是x．
圖（1）中，陰影部分是一個內(nèi)角是60°的菱形，AD=×x=x．
另一條對角線長是：MN=2OM=2×OM•tan30°=2××x•tan30°=x．
則陰影部分的面積是：×x•x=x²；
圖（2）中，AD=AD=×x=x．
是一個角是30°的直角三角形．
則陰影部分的面積=AD•sin30°•AD•cos30°=×x•××x•=x²．
兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為：x²：x²=4：3．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面積的計(jì)算，正確計(jì)算兩個圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．