Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；

（2）在整個(gè)運(yùn)動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時(shí)刻t的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

(1)證明見解析；

BP=6cm；

當(dāng)或時(shí)，△PEF為直角三角形.

【解析】

試題分析：（1）由對角線互相垂直平分的四邊形是菱形進(jìn)行證明；

（2）首先求出△PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

（3）分三種情形，需要分類討論，分別求解．

試題解析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，由AD⊥AB，AD⊥EF可知EF∥BC,

∴EH=BD，F(xiàn)H=CD ，

又∵ AB=AC，AD⊥BC

∴ BD=CD

∴ EH=FH

∴ EF與AD互相垂直平分

∴ 四邊形AEDF為菱形

（2）依題意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm，由EF∥BC知△AEF∽△ABC

∴ 即，解得EF=10-t

∴

即△PEF的面積存在最大值10cm2，此時(shí)BP=3×2=6cm。

（3）過E、F分別作EN⊥BC于N，EM⊥BC于M，易知EF=MN=

EN=FM，由AB=AC可知BN=CM=

在Rt△ACD和Rt△FCM中，由，即，

解得FM=EN=2t，又由BP=3t知CP=10-3t，

，

則 ，

分三種情況討論：

①若∠EPF=90°，則，解得，（舍去）

②若∠EFP=90°，則，解得，（舍去）

③若∠FEP=90°，則，解得，（均舍去）

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△PEF為直角三角形.

考點(diǎn)：1、菱形的判定；2、相似三角形；3、二次函數(shù)的性質(zhì)；4、分類討論的數(shù)學(xué)思想．