【題目】如圖(1),P為ABC所在平面上一點,且APB=BPC=CPA=120°,則點P叫做ABC的費馬點.

(1)如果點P為銳角ABC的費馬點,且ABC=60°.

①求證:ABP∽△BCP;

②若PA=3,PC=4,則PB=

(2)已知銳角ABC,分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD,CE和BD 相交于P點.如圖(2)

①求CPD的度數(shù);

②求證:P點為ABC的費馬點.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)題意,利用內角和定理及等式性質得到一對角相等,利用兩角相等的三角形相似即可得證;

②由三角形ABP與三角形BCP相似,得比例,將PA與PC的長代入求出PB的長即可;

(2)①根據(jù)三角形ABE與三角形ACD為等邊三角形,利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等,兩個角為60°,利用等式的性質得到夾角相等,利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等,利用全等三角形的對應角相等得到1=2,再由對頂角相等,得到5=6,即可求出所求角度數(shù);

②由三角形ADF與三角形CPF相似,得到比例式,變形得到積的恒等式,再由對頂角相等,利用兩邊成比例,且夾角相等的三角形相似得到三角形AFP與三角形CFD相似,利用相似三角形對應角相等得到APF為60°,由APD+DPC,求出APC為120°,進而確定出APB與BPC都為120°,即可得證.

試題解析:(1)證明:①∵∠PAB+PBA=180°﹣APB=60°,PBC+PBA=ABC=60°,

∴∠PAB=PBC,

∵∠APB=BPC=120°,

∴△ABP∽△BCP,

②解:∵△ABP∽△BCP,

,

PB2=PAPC=12,

PB=2;

(2)解:①∵△ABE與ACD都為等邊三角形,

∴∠BAE=CAD=60°,AE=AB,AC=AD,

∴∠BAE+BAC=CAD+BAC,即EAC=BAD,

ACE和ABD中,

∴△ACE≌△ABD(SAS),

∴∠1=2,

∵∠3=4,

∴∠CPD=6=5=60°;

②證明:∵△ADF∽△CFP,

AFPF=DFCF,

∵∠AFP=CFD,

∴△AFP∽△CDF.

∴∠APF=ACD=60°,

∴∠APC=CPD+APF=120°,

∴∠BPC=120°,

∴∠APB=360°﹣BPC﹣APC=120°,

P點為ABC的費馬點.

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乙校成績統(tǒng)計表

分數(shù)/分

人數(shù)/人

70

7

80

90

1

100

8

(1)在圖①中,“80分”所在扇形的圓心角度數(shù)為________;

(2)請你將圖②補充完整;

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平均數(shù)

方差

完全符合要求個數(shù)

A

20

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2

B

20

SB2

根據(jù)測試得到的有關數(shù)據(jù),試解答下列問題:

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計算出SB2的大小,考慮平均數(shù)與方差,說明誰的成績好些;

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200

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60%a

a

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