Question

如圖，△ABC是直角邊長為4的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O₁的直徑，半圓O₂過C點且與半圓O₁相切，則圖中陰影部分的面積是（　　）

• A．

  4(7-π)

  9

• B．

  4(5-π)

  9

• C．

  28

  9

• D．

  20

  9

Answer 1

分析：連接O₁E，O₂D，O₁O₂．則陰影部分的面積=（直角三角形ABC的面積-扇形O₂PD的面積-三角形O₂CD的面積-扇形O₁AE的面積-三角形O₁BE的面積）+（扇形O₂CD的面積-三角形O₂CD的面積+扇形O₁BE的面積-三角形O₁BE的面積）．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和同圓的半徑相等，知三角形O₂CD和三角形O₁BE都是等腰直角三角形．設(shè)半圓O₂的半徑是x，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．

解答：解：連接O₁E，O₂D，O₁O₂．
設(shè)半圓O₂的半徑是x，根據(jù)勾股定理，得2²+（2-x）²=（2+x）²，
解得：x=

4

3

．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∴∠O₂DC=∠C=45°，∠O₁EB=∠B=45°．
∴∠CO₂D=∠EO₁B=90°．
∴陰影部分的面積=直角三角形ABC的面積-2（直角三角形CO₂D的面積+直角三角形BO₁E的面積）
=

1

2

×4²-2（

1

2

×

16

9

-

1

2

×4）=

28

9

．
故選C．

點評：此題關(guān)鍵是能夠根據(jù)勾股定理求得半圓O₂的半徑，同時能夠發(fā)現(xiàn)△O₂CD和△O₁BE都是直角三角形．